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函数有n阶导,为什么只能洛到n-1阶?
来源:哔哩哔哩      时间:2023-06-24 13:19:44


(资料图片)

在学习带Peano余项的Taylor公式的证明过程中,我发现明明设定中,函数f(x)在x0处有n阶导,但是证明应用洛必达法则时,却只应用到了n-1阶,虽然这样也可以证明,但给我带来了一个疑问:

为什么不能洛到n阶?

让我们先从洛必达法则的应用条件出发(参考陈纪修版《数学分析》),当我们要应用到n阶,我们需要满足条件(4),也就是极限存在。

根据现有条件,f(x)在x0处有n阶导,只能说明在这一个点,n阶导数存在,即n阶导数在x0这一点有定义,显然,函数在一点有定义和函数在一点极限是否存在是毫无关系的,也就不一定能满足条件(4)。

那为什么可以洛到n-1阶?

因为可导必连续,n阶导数的存在即n-1阶导数的连续,连续则极限存在,满足条件(4)

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